Journée thématique Lois de conservation et trafic routier

Journée thématique "Lois de conservation et trafic routier"

15 janv. 2019 Marseille (France)

Journée thématique "Lois de conservation et trafic routier"

Le but de cette journée est de proposer une introduction à l'analyse théorique et numérique de modèles pour le trafic routier. Plus précisément les modèles continus qui seront à l'étude se basent sur des lois de conservation au sein desquelles on s'attachera à reproduire des phénomènes d'hétérogénéités et de contraintes d'origine microscopique.

Cette rencontre s'inscrit dans le cadre du groupe de travail HYPERBO de l'I2M.

La journée se déroulera dans la salle de séminaire de la FRUMAM (2ème étage) sur le campus Saint Charles

Titres et résumés des exposés

Nicolas Forcadel

Passage micro-macro et application au trafic routier. Le but de cet exposé est de montrer comment on peut déduire des modèles macroscopiques de trafic routier à partir de modèles microscopiques contenant éventuellement des perturbations locales. A l'échelle microscopique, nous considèrerons un modèle du premier ordre de type "follow the leader", c'est à dire dans lequel la vitesse d'un véhicule dépend seulement de la distance au véhicule la précédant. Dans un premier temps, nous considèrerons un cas simple d’une seule route avec différents types de véhicules mais sur laquelle ces véhicules sont répartis de manière aléatoire.

Dans un second temps, nous considérerons le cas d’une perturbation locale située à l'origine qui fait ralentir les voitures (qui sont maintenant toutes supposées identiques). Au niveau macroscopique, on s'attend à obtenir une équation de Hamilton-Jacobi à gauche et à droite de la jonction et une condition de jonction à l'origine (comme étudié dans les travaux récents de C. Imbert et R. Monneau). Cette condition de jonction permet de voir l'influence de la perturbation microscopique au niveau macroscopique. Nous considérerons également le cas d’une jonction avec une route se séparant en plusieurs. Il s'agit de travaux en collaboration avec P. Cardaliaguet, W. Salazar et M. Zaydan.

Paola Goatin

Non-local macroscopic models of traffic flow. Non-local interactions can be described through macroscopic models based on integro- differential equations. Systems of the form
∂u/ ∂t+ div x F (t, x, u, W) = 0, t > 0, x ∈ R^d , d ≥ 1,
where u = u(t, x) ∈ R^N , N ≥ 1 is the vector of the conserved quantities and the variable W = W (t, x, u) depends on an integral evaluation of u, arise in a variety of physical applications. Space-integral terms are considered for example in models for granular flows, sedimentation, supply chains, conveyor belts and biological applications like structured populations dynamics. In particular, equations with non-local flux have been recently introduced in traffic flow modeling to account for the reaction of drivers or pedestrians to the surrounding density of other individuals. While pedestrians are likely to react to the presence of people all around them, drivers will mainly adapt their velocity to the downstream traffic, assigning a greater importance to closer vehicles. In particular, and in contrast to classical (without integral terms) macroscopic equations, these models are able to display finite acceleration of vehicles through Lipschitz bounds on the mean velocity and lane formation in crossing pedestrian flows. We will also present recent results on micro-macro limits of empirical measures converging to measure-valued solutions of the corresponding macroscopic evolution equation and extensions to multi-class models.

Frédéric Lagoutière

Analyse (numérique) d'équations d'agrégation.

Je parlerai de travaux assez récents (effectués en collaboration avec José Antonio Carrillo, François Delarue, François James, Nicolas Vauchelet) sur les équations d'agrégation. Ce sont des équations de transport non linéaires et non locales où le champ de vitesses est obtenu par convolution (en espace) de la solution par le gradient d'un potentiel donné. Nous étudions le cas où le potentiel est seulement, disons, pour simplifier, lipschitzien. Ceci entraîne a priori l'apparition en temps fini de masses de Dirac dans la solution.
Je montrerai rapidement
- le caractère bien posé des problèmes de Cauchy à donnée mesure de probabilité
- des estimations d'erreur pour des schémas numériques.

Thibault Liard

Impact of atypical vehicles on vehicular traffic: study of a coupled PDE-ODE

In the seminal experiments of Sugiyama et al and Tadaki et al., human driving behavior alone was shown to be sufficient to trigger stop and go waves. Motivated by this experiment, we study a coupled PDE-ODE modeling an atypical driver immersed in vehicular traffic. The PDE consists of a scalar conservation laws modeling the traffic flow evolution and the ODE models either the trajectory of a connected vehicle or the trajectory of a slow moving vehicle.

- Study of a weakly coupled PDE-ODE: the connected vehicles act as tracer vehicles in the flow and collect measurements along their trajectory to estimate the bulk flow. The main result is to prove theoretically and show numerically how to reconstruct the correct traffic density using only the measurements from the connected vehicles.

- Study of a strongly coupled PDE-ODE: the slow moving vehicle influences the bulk traffic flow via a point flux constraint, which is given by an inequality on the flux at the slow vehicle position.

We prove uniqueness and continuous dependence of solutions with respect to initial data of bounded variation. The proof is based on a new backward in time method established to capture the values of the norm of generalized tangent vectors at every time.

These results are the first step to study control problems for traffic flow via the action of connected autonomous vehicles.

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